☛ Calculer l'aire entre deux courbes

Énoncé
Soit   \(f\)  et \(g\)  deux fonctions définies sur \(\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right]\) par \(f(x)=-\dfrac{1}{3}x^2+3\) et \(g(x)=x^2\) .
On appelle  \(\mathscr C_f\) et  \(\mathscr C_g\)  les courbes représentatives de \(f\) et \(g\) dans un repère orthogonal.
On souhaite calculer l'aire hachurée de la partie du plan délimitée par les courbes représentatives de  \(\mathscr C_f\)  et \(\mathscr C_g\) et les droites d'équations \(x=-\dfrac32\) et \(x=\dfrac32\) .

1. Étudier la position relative des courbes  \(\mathscr C_f\)  et \(\mathscr C_g\) sur \(\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right]\) .

2. En déduire l'aire hachurée.

Solution

1. On étudie le signe de la différence entre \(f\)  et \(g\)   sur \(\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right]\) .
On pose \(d\) la fonction définie sur \(\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right]\) par  \(d(x)=g(x)-f(x)\) .

Pour tout \(x\) de   \(\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right]\) , on a  \(d(x)=\dfrac43x^2-3\) .
Pour tout \(x\) de   \(\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right]\) , on a 
\(d(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac43x^2-3=0 \Leftrightarrow x^2=\dfrac94 \Leftrightarrow x=\dfrac32\) ou \(x=-\dfrac32\) .

\(d\) est une fonction du second degré. On a  \(\dfrac43>0\) donc \(d(x)\leqslant 0\)  sur \(\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right]\) .

Sur   \(\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right]\) , on a donc \(d(x)\leqslant 0 \Leftrightarrow g(x)-f(x)\leqslant 0 \Leftrightarrow g(x)\leqslant f(x)\) .

Donc \(\mathscr C_g\) est en dessous de \(\mathscr C_f\) sur \(\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right]\) .

2. \(f\)  et \(g\) sont deux fonctions continues sur   \(\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right]\) .
On a  \(f(x)-g(x)\geqslant 0\) sur   \(\left[-\dfrac32~;~\dfrac32\right]\) .
L'aire hachurée est

\(\begin{array}[t]{rcl}I & =&\displaystyle \int_{-1{,}5}^{1{,}5}(f(x)-g(x))\text{ d}x= \int_{-1{,}5}^{1{,}5}\left(-\dfrac43x^2+3\right)\text{ d}x\\I&=& \left[-\dfrac49x^3+3x\right]_{-1{,}5}^{1{,}5}= 6 \text{ u.a.}\\\end{array}\)